《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Multi-scale low-frequency enhanced spectral neural operator for reducing low-frequency error in partial differential equations solving
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針對神經算子求解偏微分方程（PDEs）時低頻學習能力不足、無法利用物理先驗知識的問題，研究人員提出多尺度低頻增強譜神經算子。實驗表明該模型低頻誤差降低 26.7%、精度提升 25.6%，為 PDEs 求解提供新方向。
在科學與工程領域，偏微分方程（PDEs）作為連接現實世界與數學世界的橋梁，廣泛應用于空氣動力學建模、氣象預測等場景。然而，設計通用的人工智能（AI）求解器始終是一項重大挑戰。盡管基于神經網絡的神經算子（如 Fourier 神經算子 FNO、DeepONet 等）通過學習函數空間的輸入輸出映射關系，為 PDEs 快速求解提供了新思路，但這類方法在實際應用中暴露出兩大關鍵問題：一是低頻信息學習能力不足，而流體 PDEs 中低頻分量往往主導整體誤差；二是難以有效利用 PDEs 的物理先驗知識，尤其是不同方程的頻譜分布差異顯著，導致模型泛化能力受限。如何提升神經算子在低頻區域的表征能力，并將物理先驗融入模型設計，成為突破通用 PDEs 求解器瓶頸的核心。
為攻克上述難題，國內研究團隊開展了相關研究，提出多尺度低頻增強譜神經算子（multi-scale low-frequency enhanced spectral neural operator），其研究成果發表在《Engineering Applications of Artificial Intelligence》。該研究通過創新的架構設計與策略優化，顯著提升了神經算子對 PDEs 的求解精度，為復雜物理問題的 AI 建模提供了新范式。
研究人員主要采用的關鍵技術方法包括：
- 基于多重網格法（multigrid method）的多尺度頻率域擴展技術，通過頻譜折疊（frequency spectrum folding）和限制 - 插值算子設計，擴大神經算子在頻率域的可學習范圍；
- 無跳躍連接的殘差結構（residual structure），增強低頻信息的學習能力并確保 PDEs 求解的正確性；
- 基于 PDEs 頻譜分布與神經算子學習模式對應關系的校正策略，通過單層校正模塊整合物理先驗知識，實現對不同 PDEs 頻譜特征的自適應處理。
實驗結果
基準數據集驗證
研究團隊在 Darcy 方程、Navier–Stokes 方程及其變體等流體 PDEs 基準數據集上開展實驗。結果表明，與傳統神經算子相比，所提模型的低頻誤差平均降低 26.7%，整體精度提升 25.6%，顯著優于 FNO 等基線模型，驗證了多尺度低頻增強策略的有效性。
深度 FNO 收斂性問題解決
將該架構擴展至深度 FNO 時，成功解決了其難以收斂的問題，誤差降低幅度達 90%，表明模型在提升深層網絡穩定性方面具有顯著優勢。
物理先驗整合效果
通過分析 PDEs 頻譜分布與神經算子學習模式的相關性，設計的校正模塊能夠有效利用頻譜先驗知識，使模型在不同頻譜特征的 PDEs 求解中保持高魯棒性，為物理啟發的 AI 模型設計提供了新路徑。
研究結論與意義
本研究針對神經算子求解 PDEs 的低頻誤差與物理先驗利用難題，提出多尺度低頻增強譜神經算子及頻譜模式校正策略。通過多重網格法啟發的頻率域擴展、殘差結構設計和物理先驗整合，模型在提升低頻學習能力的同時，實現了對多樣化 PDEs 的自適應求解。實驗結果表明，該方法在流體力學等領域的典型 PDEs 中表現出顯著的精度優勢，并為深層神經算子的收斂性問題提供了解決方案。研究成果不僅拓展了神經算子在科學計算中的應用邊界，也為融合物理機理的 AI 模型設計提供了重要方法論參考，有望推動 AI 與傳統科學計算的交叉融合，加速復雜物理系統的高效建模與分析。
